Простейшее:   а^х = b,  если   a► 0,   а≠1, b>0.                                                 ПроверьОДЗ: а ►0, а ≠1, b > 0.

Теорема: если а^f(x) = а^g(x) , при a► 0, а≠ 1 и b>0, то  f(x) = g(x).

2^5х-1 = 512.

Решение:    2^5х-1 =  2⁹;  5х-1 =  9;  х=2.                                                     Ответ: х = 2   

2.По определению  логарифма: логарифмом положительного числа  b по положительному основанию a, причём a≠1,называется показатель степени, в которую надо возвести основание а≠1, чтобы получить  число b: а ^х =b,то logа b = x.

 Решить уравнение : 8^х = 3. 

Решение: 8^х = 8^log₈ 3  ;  x = log₈ 3                                                                       Ответ: x = log₈ 3.

3.Свойства показательной функции:  а ^х+у = а^x •а^y   и    а ^{х- у}=  а^x  : а^у 

5^х+1 - 3•5^х-2  = 122;  

5•5^x - 3• 5^x/25= 122;  приведём к общему знаменателю равному 25 :   125•5^х - 3•5^х =122•254  общий множитель вынесем  за скобку: 5^x (125 - 3) =122•25; сокращаем на 25: 5^х= 25;   х=2.      

Ответ: x=2.

4.Квадратное  + ввод новой переменной: 4^х + 2^х+1   -24 = 0.

 Решение: 22х +2• 2^х -24 = 0, введём переменную: 2^х = t ► 0;  t² + 2 t  - 24 = 0;  t₁ =4; t₂ = -4. 2^х= 4.    х₁= 2. Выражение 2^х = -4  не имеет смысла.                                                              Ответ: х=2

6•( 9^х/6^х  -13 + 6• 4^х/6^х   = 0, показатель одинаковый: 6•3^х/2^х - 13 + 6 • (2^х/3^х )= 0. Введём переменную: (3^х/2^х )= t,

6t²  -13t +6 = 0.  t₁ =  2/3  , t₂ =3/( 2).    х₁= 1, х₂ = 2 .

6. Искусственные  приёмы:  

1.    3^х + 4^х = 5^х. 

Решение.  Делим обе части уравнения на 5^х ► 0. 

(3^х/5^х ) + (4^х/5^х )  = 1.  Методом перебора х =  2.Графически  докажем, что других корней нет.

Решение. Так как (√(5+2√6)) =  1/((√(5-2√6)) ), то введём новую переменную 

(√(5+2√6))=t,получим уравнение: t+1/t =10.