Задачи  с экономическим содержанием
    1. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 8420000 рублей в кредит под 10,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10,5%), затем Сергей переводит в банк  Х рублей. Какой должна быть сумма  Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.  Пусть сумма кредита равна  S, а годовые составляют а %, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся  сумма долга  умножается на коэффициент b = 1+ 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₂ = S₁b – X  = (S∙b –X)b – X = S∙b² – (1 + b)∙ X. 
По условию двумя выплатами Сергей  должен погасить кредит полностью, поэтому 
S∙b² – (1 +b) X = 0, откуда   Х = ( S∙b²)/(b+1).   При  S = 8420000  и a = 10,5 получаем  b =1,105 и 
Х =  (8420000∙1,221025)/(2,105) = 48884100(рублей).
   2.  31 декабря 2014 года Арсений  взял в банке  1млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое  количество процентов), затем Арсений переводит в банк  очередной  транж.  Арсений  выплатил кредит за два транжа, первый раз перевёл 550 тыс. рублей, второй -638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк дал кредит Арсению? 
Решение.  Пусть сумма кредита равна  S, а годовые составляют а%. Первая выплата Х, а вторая У. 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
B = 1 +0,01а. после первой выплаты сумма долга составит  S₁ = S∙b – X , после второй выплаты сумма долга составит  S₂ = S₁b – У  = (S∙b –X)b – У = S∙b²– b X - У. По условию кредит погашен полностью, поэтому  S∙b² – b X – У = 0, откуда дискриминант  D = Х² +4S∙У = 104∙169, корни  b =  (X+√D)/2S = (55∙10⁴+169∙10⁴)/(2∙100∙10⁴ ) = 1,12, то есть 12%.
Ответ: 12.
    3.31 декабря 2014 года Сергей взял в банке  9282000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк  Х рублей. Какой должна быть сумма  Х, чтобы Сергей выплатил долг  четырьмя  равными платежами (то есть за два года)?
Решение.  Пусть сумма кредита равна  S, а годовые составляют а %, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся  сумма долга  умножается на коэффициент  b = 1+0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₂ = S₁b – X  = (S∙b –X)b – X = S∙b² – (1 +b) X. 
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
 S₃ = S∙b³ – (1+b+b²) X  = S∙b³ - (b³ - 1)/(b-1) ∙X.  После четвёртой  выплаты  сумма оставшегося долга  равна
S₄ = S∙b⁴ –(1+b+b² +b³) X  = S∙b⁴ - (b⁴-1)/(b-1) ∙X.  По условию кредит погашен полностью, поэтому 

 S∙b⁴   -  (b⁴ - 1)/(b-1) ∙X  = 0, откуда   Х =  (S∙b⁴  ( b-1))/(b⁴-1), при  S = 9282000  и а = 10, получаем  b = 1,1 
X  =  (9282000∙ 1,4641 ∙0,1)/0,4641 = 2928200 рублей.
   4. Максим хочет взять  в кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме,  может быть последней)  после  начисления процентов. Ставка  процента 10%. На какое минимальное количество лет может Максим взять  кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение. При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается  на коэффициент  1 + 0,01∙10=1,1. В конце первого года  долг составит 1500000∙ 1,1 = 1650000 рублей. После выплаты 350 тысяч  рублей долг составит 1350000 рублей. Составим таблицу долга 

Год    Долг  банку (руб.)    Остаток после транжа (руб.)
0    1500000                              -
1    1650000    1300000
2    1430000    1080000
3    1188000    838000
4    921800    571800
5    628980    278980
6    306878    0

Значит, Максим погасит кредит за 6 лет.
    5.  Плата за  5 лет обучения    на платном  отделении    Омского  института  инженеров  железнодорожного транспорта   студенту первого курса обойдётся  в         рублей .  Иван  берёт в  банке кредит на     рублей, которые он  планирует начать погашать  через 5 лет